Teoria homotecia y Semejanza


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  • DEFINICIÓN DE HOMOTECIA: Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro, alineado con A y O, tal que: OA´=k·OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa. Definicion de Semejanza:Dos figuras son SEMEJANTES si tienen la misma forma pero distinto tamaño.
  • Homotecias de centro el origen de coordenadas: En una homotecia de origen el centro de coordenadas se puede ver con facilidad la relación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se considera A(x,y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es:
  • Composición de homotecias del mismo centro:La composición de homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro cuya razón de homotecia es el producto de las razones. En el escenario Descartes puede verse cómo la composición de homotecias de razones k1 y k2, en la escena izquierda, es igual que la homotecia de razón k=k1k2, en la escena derecha.

Problemas Con Descartes.



1. Varía la razón de homotecia aumentándola y disminuyéndola. ¿Qué ocurre cuando k=1?¿Y cuando vale -1?

2. Varía la razón de homotecia aumentándola y disminuyéndola. ¿Qué ocurre cuando k=1?¿Y cuando vale -1?

3. Dibuja en tu cuaderno el triángulo de vértices A(1,2), B(3,2) y C(-1,3) y aplícale la homotecia de centro el origen y de razón k=2 empleando la transformación de coordenadas correspondiente.

4. Calcula la composición de homotecias de razones k1=0.7 y k2=1.8. Comprueba en la escena derecha si el resultado calculado es el correcto. Repite la operación para k1=-0.25 y k2=-3.



Problemas Resueltos:

1-Hacer un triángulo ABC conocidos
  • a
  • b/c
  • b^2-c^2
1 - Dibuja dos lineas perpendiculares. Cada una será un cateto, llevando longitudes cualesquiera que cumpla la razón y = b/c. Si "y" te lo dan como una fracción, por ejemplo 3/2, pones 3 unidades en la hipotenusa y 2 en el cateto. Si "y" te lo dan como un entero, por ejemplo 3, colocas 3 unidades en la hipotenusa y 1 en el cateto.
2 - Hallas cuanto es la raíz cuadrada de x (media proporcional entre x² y la unidad).
3 - Colocas el valor obtenido sobre el cateto del triángulo anterior en el cateto sobre el que no se llevo las medidas de la razón "y".
4 - Haces un triángulo semejante al primero con esa medida, y la hipotenusa es el valor de b y el otro cateto el de c.
5 - Ya tienes a, b y c, hacer un triángulo con los tres lados.



2.Aplicando homotecia, como dibujo de un polígono regular de n lados.
En primer lugar debes de construir un polígono de N lados por cualquiera de los procedimientos que conozcas, según los datos que te den, y a cualquier tamaño.

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Por ejemplo, uno de los procedimientos mas clásicos es el que te ilustro a continuación, seguro que con solo ver la imagen ya sabes de que se trata :

Después, desde el centro trazas radios que pasen por los vértices.

Si lo que conoces es el radio, trazas una circunferencia y donde ésta corte a los radios son los nuevos vértices.

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3.Trazar un segmento tal que la distancia desde un punto P a donde corte con dos rectas dadas, R y S, sean la misma distancia (O situar un segmento que se apoye en dos rectas siendo P su punto medio)

1 - Une el punto P con cualquier punto de una de las rectas, por ejemplo con el vértice del ángulo, V

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2 - Halla el simétrico, V', de V respecto de P

3 - Por V' dibujar una paralela a S

4 - Donde la paralela, S', corte a la otra recta, R, es uno de los puntos, A, por el que pasa el segmento buscado

5 - Unir A con P y es el segmento buscado.



Historia:


La potencia de este concepto la aporta el hecho de que los antiguos griegos pudieron estimar las distancias y dimensiones de la Tierra, Sol y Luna con la simple ayuda de un aparato medidor de ángulos. También realizaron los primeros trabajos topográficos complejos, como se verá posteriormente.

Dos resultados previos, basados en la proporcionalidad de magnitudes:
1) Estimación del radio terrestre.
Cuenta la leyenda que Eratóstenes (s. III a.C.) supo a través de un manuscrito que en la ciudad de Assuan, en determinado día y a una hora concreta, los rayos del Sol incidían en el fondo de un pozo.
Eratóstenes residía en Alejandría; en aquel tiempo era conocido que ambas ciudades estaban sobre el mismo meridiano, separadas por 800 Km. En el mismo día y a la misma hora clavó una estaca y midió el ángulo que formaba con los rayos solares, siendo éste de 7'2º.
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Las prolongaciones de la estaca y el pozo se unen en el centro de la Tierra, formando también un ángulo de 7'2º.
Si estos grados abarcan un arco de 800 Km, 360º abarcarán el perímetro terrestre:
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Dividiendo por
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PROBLEMAS PROPUESTOS:

1º-2 circunferencias cualesquiera en el plano son homotéticas respecto 2 centros distintos. Hállalos en tu cuaderno con R=1,5 cm, R'=4,5 cm y CC'=10 cm
2º-Desde un punto P trazamos tangentes a 2 circunferencias tangentes exteriores. Si OP=12 y O'A'=5 cm, cuánto mide el radio de la circunferencia.


3º-Dado el lado a de un triángulo ABC, se pide:
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1.Dibujar el triángulo ABC sabiendo que el ángulo A=60º y el lado b=60mm



2.Hallar el ortocentro del triángulo dibujado


3.Mediante la homotecia de centro el ortocentro del triángulo obtenido y razón R=2, dibujar el triángulo A'B'C'