1.Teoría + escenas descartes (Homotecias y semejanzas)
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Una homotecia es una trasformación geométricaaaaaaaaaaaa que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación. Su definición rigurosa es vectorial:
Definición
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea Ω un elemento (visto como un punto) de E
La homotecia de centro Ω y de razón k, denotada hΩ, k envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:
Homotecia.png
Homotecia.png

Homotecia, de centro el punto O y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k). Si k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen O que pasa por P.Veremos en lo siguiente las propiedades de la homotecia:
Propiedades
La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:
  1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
  2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
  3. el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) (CD) porque (BE) (CD).
Además la homotecia conserva:
  1. el cociente de longitudes: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
  2. los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:
  1. La imagen de una recta es otra recta paralela.
  2. Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
  3. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos)
  4. Si k ≠ 0, hΩ k admite como trasformación recíproca hΩ 1/k. (cuando k = 0, no es biyectiva)
  5. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: hΩ k o hΩ k' = hΩ k·k'.
  6. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k' ≠1, y una traslación sino. Se dice que el conjunto de las homotecias y las translaciones forman un grupo.
k = - 1 corresponde a la simetría de centro Ω, o una rotación alrededor de Ω de ángulo π radianes (180·)
|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
|k| < 1 implica una reducción.
k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin inversión.

2.Ejerciciso resueltos

El problema dice lo siguiente:

Dado el triángulo A(-7,-1);B(5,-1);C(-7,-3),encontrar el círculo homotético a su circunferencia inscrita,sabiendo que pasa por B.


Las rectas tangentes a una circunferencia, también lo son a su homotética.

Por ello se tratará de dibujar una circunferencia tangente a los lado AB y AC conocido el punto de tangencia B.

Para ello, por B se traza una perpendicular a AB, mientras que por A se traza la bisectriz del ángulo "A".

Donde ambas se corten es el centro.

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4.Ejercicios propuestos
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